Transformaciones lineales

a continuacion vemos algunos ejemplos de transformaciones lineales:

lo que sigue es el proceso de nulidad de una tranformacion lineal:

una vez que se obtuvo la nulidad, pasamos a encontrara , la dimencion, el rango y la imagen.

TRANSFORMACION LINEAL

Una aplicacion lineal (tambien llamada, funcion lineal, transformacion lineal u operador lineal) es un aplicacion entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de las sumas de vectores y productos por un escalar.
El termino funcion lineal se utilizado de manera incorrecta en analisis matematico y en geometria para designar una recta, un plano o en general para deisgnar una variable lineal.

Se denomina transformacion lineal a toda aplicacion cuyo domino y codominio sean espacios vectoriales que cumplan las siguientes definiciones:

sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K y T un funcion de V en W. T es una transformacion lineal si para todo par de vectores u y v perteneciente a V y a toda k perteneciente a K, se satisface que :


T(u+v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u) donde k es un escalar

UNIDAD 4 en clase

LO SIGUIENTE ES LO REALIZADO EN LA CUARTA UNIDAD DE MATEMATICAS IV...



CONBINACION LINEAL

LINEALMENTE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

BASES Y DIMENCIONES

En algebra linal un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito en una conbinacion lineal de los restantes. Por ejemplo en R3 los vectpres (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)son linealmente independientes , mientras que (2,-1,1), (1,0,1) y (3,-1,2)no lo son ya que la suma de los dos primeros es el resultado del tercero. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente independientes.

Es un teme de algrebra lineal que nos sirve para resolver un sistema lineal de ecuaciones en terminos de determinates. La regle de cramer es de importancia teorica por que nos da una expresion explicita para un sistema.


Es eficiente apra grandes sistemas de matrices y por ello no es usado para aplicaciones practicas puedan implicar muchas ecuaciones.





Si Ax=b es un sisitema de ecuaciones. A es la matriz de coeficients del sistema , X=(x1, ... ,x2) es el vector columna de las incognitas y b es vector columna de lo temrninos imdependientes.





Entoces la solucion al sistema se presenta asi:

donde Aj es la matriz a remplazar la j-esima columna de a por el vector de la columna en b.

BIOGRAFIA DE GABRIEL CRAMER

Fue un matamatico suizo nacido en Ginebra el a 31 de julio de 1704 y murio en 4 de enero de 1752 . Profesor de matamaticas en la universidad de ginebre durante el periodo de 1724/27. En 1750 ocupo la catedra de filosofia en dicha universidad.

En 1731 presento ante la academia de ciencia de paris una memoria sobre la inclinacion de los planetas.Edito las obras de jeans bernuolli.

Su obra fundamental fue introduction a l analyse des courbes algebriques en la qeue se desarrolla la teoria de las curvas algebraicas segun los principios newtonianos , demostro que una curva de grados n viene dado por N numero de puntos sobre ella.

3ra Unidad

En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

DEFINICION

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Propiedades

Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0

Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo:
Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.
Por ejemplo:

ejercicios de matrices( sumas, restas, multiplicaciones )

estos fueron algunos ejercicios SENCILLOS de operaciones elementales con matrices